Sam Levey
https://www.youtube.com/watch?v=wjYpzkQoyD8
这个视频主要是想让你直观地、从几何角度理解矩阵转置是怎么回事。
它主要研究的是，一个线性变换（也就是用矩阵 A 去乘一个向量）会不会保持两个向量之间的点乘不变。视频里说，一般来说，把两个向量都用 A 变换一下，点乘就不一样了。不过也有特殊情况，比如正交矩阵，它代表的是旋转、反射这种变换，这种变换天生就保持点乘不变。
视频解释说，如果想让一个向量用 A 变换后，还能保持和另一个向量的点乘不变，那另一个向量就得用 A 的逆转置 (A⁻ᵀ) 来变换。它用到了奇异值分解 (SVD)，这个 SVD 能把一个矩阵 A 分解成一系列的变换（先旋转，再缩放，最后再旋转），这样就能从几何上看得更清楚。视频里推导了 A⁻ᵀ 的 SVD 形式，然后从几何上解释说，这相当于先做 A 的第一次旋转，然后做逆向缩放，最后再做 A 的第二次旋转。
如果 A 不是可逆矩阵怎么办呢？视频就换了个思路。它不再是把向量往前（从输入到输出）变换了，而是考虑在输出空间里选一个向量，然后找个规则，看看在输入空间里哪个向量能跟它对应上，并且保持点乘关系不变。结果发现，这个规则就是用转置矩阵 (Aᵀ) 来变换。视频里还推导了 Aᵀ 的 SVD 形式，从几何上解释就是：先把 A 的第二次旋转“撤销”（或者说反向旋转），然后用跟 A *一样* 的缩放，最后再把 A 的第一次旋转“撤销”。
视频强调说，A 是把向量从输入空间往输出空间“往前”送，而 Aᵀ 呢，是为了保持点乘关系，是把向量从输出空间往输入空间“往回”送。这就给转置，即使是对那些不可逆的矩阵，提供了一个很重要的几何解释。视频最后还提了下对称矩阵，就是等于它自己转置的矩阵。
